آموزش ضریب همبستگی پیرسون

ضریب همبستگی: فرمول ها ، محاسبه ، تفسیر ، مثال

ضریب همبستگی در آمار ، این شاخصی است که گرایش دو متغیر کمی X و Y را برای داشتن یک رابطه خطی یا متناسب بین آنها اندازه گیری می کند.

به طور کلی ، جفت متغیرهای X و Y دو ویژگی یک جمعیت هستند. به عنوان مثال ، X می تواند قد فرد و Y وزن او باشد.

در این حالت ، ضریب همبستگی نشان می دهد که آیا روشی به رابطه متناسب بین قد و وزن در یک جمعیت معین وجود دارد یا خیر.

ضریب همبستگی خطی پیرسون با حرف مشخص می شود ر حروف کوچک و حداقل و حداکثر مقادیر آن به ترتیب -1 و +1 می باشد.

مقدار r = 1 نشان می دهد که مجموعه ای از جفت ها (X ، Y) کاملاً تراز هستند و وقتی X رشد می کند ، Y نیز به همان نسبت رشد می کند. از طرف دیگر ، اگر اتفاق می افتد که r = -1 ، مجموعه جفت ها نیز کاملاً تراز می شوند ، اما در این حالت وقتی X افزایش می یابد ، Y به همان نسبت کاهش می یابد.

از طرف دیگر ، مقدار r = 0 نشان می دهد که هیچ همبستگی خطی بین متغیرهای X و Y وجود ندارد. در حالی که مقدار r = +0.8 نشان می دهد که جفت ها (X ، Y) تمایل دارند از یک طرف جمع شوند و دیگری از یک خط خاص

فرمول محاسبه ضریب همبستگی r به شرح زیر است:

چگونه ضریب همبستگی را محاسبه کنیم؟

ضریب همبستگی خطی کمیت آماری است که در ماشین حسابهای علمی ، بیشتر صفحات گسترده و برنامه های آماری تعبیه شده است.

با این حال ، راحت است که بدانید فرمولی که آن را تعریف می کند چگونه اعمال می شود ، و برای این منظور یک محاسبه دقیق در یک مجموعه آموزش ضریب همبستگی پیرسون داده کوچک نشان داده می شود.

و همانطور که در بخش قبلی بیان شد ، ضریب همبستگی کوواریانس Sxy است که بر حاصل از انحراف استاندارد Sx برای متغیرهای X و Sy برای متغیر Y تقسیم می شود.

کوواریانس و واریانس

کواریانس Sxy به شرح زیر است:

Sxy = [Σ (Xi - ) (یی - )] / (N-1)

جایی که مجموع از 1 به N جفت داده می رسد (Xi ، Yi). و به ترتیب محاسبات داده های Xi و Yi هستند.

به نوبه خود ، انحراف استاندارد برای متغیر X ریشه مربع واریانس مجموعه داده های Xi است ، با i از 1 تا N:

Sx = √ [Σ (Xi - ) ^ 2) / (N-1)]

به طور مشابه ، انحراف استاندارد برای متغیر Y ریشه مربع واریانس مجموعه داده Yi است ، با i از 1 تا N:

Sy = √ [Σ (یی - ) 2 ) / (N-1)]

مورد مصور

به منظور نشان دادن جزئیات نحوه محاسبه ضریب همبستگی ، مجموعه چهار جفت داده زیر را خواهیم گرفت

ابتدا میانگین محاسبه را برای X و Y محاسبه می کنیم ، به شرح زیر:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4.25

سپس پارامترهای باقیمانده محاسبه می شوند:

کوواریانس سکسی

Sxy = [(1 - 2.5) (1 - 4.25) + (2 - 2.5) (3 - 4.25) + (3 - 2.5) (6 - 4.25) + …. (4 - 2.5) (7 - 4.25)] / (4-1)

Sxy = [(-1.5) (- 3.25) + (-0.5) (- 1.25) + (0.5) (1.75) +

….(1.5)(2.75) ] / (3) = 10.5 / 3 = 3.5

انحراف استاندارد Sx

Sx = √ [(-1.5) 2 + (-0.5) 2 + (0.5) 2 + (1.5) 2 ) / (4-1)] = √[5/3] = 1.29

انحراف استاندارد

Sx = √ [(-3.25) 2 + (-1.25) 2 + (1.75) 2 + (2.75) 2 ) / (4-1)] =

√[22.75/3] = 2.75

ضریب همبستگی r

r = 3.5 / (1.29 * 2.75) = 0.98

تفسیر

در مجموعه داده های مورد قبلی ، یک همبستگی خطی قوی بین متغیرهای X و Y مشاهده می شود ، که هم در نمودار پراکندگی (در شکل 1 نشان داده شده است) و هم در ضریب همبستگی آشکار می شود ، که یک ارزش کاملاً نزدیک به وحدت است.

تا آنجا که ضریب همبستگی به 1 یا -1 نزدیکتر باشد ، منطبق تر بودن داده ها در یک خط ، نتیجه رگرسیون خطی است.

رگرسیون خطی

خط رگرسیون خطی از بدست می آید روش حداقل مربعات.که در آن پارامترهای خط رگرسیون از به حداقل رساندن مجموع مربع اختلاف بین مقدار Y برآورد شده و Yi داده N بدست می آیند.

از طرف دیگر ، پارامترهای a و b خط رگرسیون y = a + bx که با استفاده از روش حداقل مربعات بدست آمده اند ، عبارتند از:

* b = Sxy / (Sx 2 ) برای شیب

* a = - ب برای تقاطع خط رگرسیون با محور Y.

به یاد بیاورید که Sxy کوواریانس تعریف شده در بالا و Sx است 2 واریانس یا مربع انحراف استاندارد تعریف شده در بالا است. و به ترتیب محاسبات داده های X و Y هستند.

مثال

برای تعیین وجود همبستگی خطی بین دو متغیر از ضریب همبستگی استفاده می شود. وقتی متغیرهای مورد مطالعه کمی باشند قابل اجرا است و علاوه بر این ، فرض بر این است که آنها از یک توزیع نوع طبیعی پیروی می کنند.

ما یک مثال گویا در زیر داریم: معیاری برای میزان چاقی ، شاخص توده بدن است که با تقسیم وزن فرد بر کیلوگرم به قد مربع همان در واحد متر مربع بدست می آید.

شما می خواهید بدانید که آیا بین شاخص توده بدن و غلظت کلسترول HDL در خون ، اندازه گیری شده بر حسب میلی مول بر لیتر ، ارتباط زیادی وجود دارد یا خیر. برای این منظور ، یک مطالعه با 533 نفر انجام شده است که در نمودار زیر خلاصه شده است ، که در آن هر نقطه داده های یک نفر را نشان می دهد.

مشاهده دقیق نمودار نشان می دهد که بین غلظت کلسترول HDL و شاخص توده بدنی روند خطی خاصی وجود دارد (خیلی مشخص نیست). معیار کمی این روند ضریب همبستگی است که برای این مورد معادل آموزش ضریب همبستگی پیرسون r = -0.276 است.

ضریب همبستگی کندال

در این مقاله ضریب همبستگی کندال به صورت تئوری تشریح داده شده و برای آن به صورت دستی و نرم افزاری مثال حل می شود. کندال (M. Kendall 1907-1983) در حدود سال 1930 به مطالعه یک نوع ضریب همبستگی پرداخت که به نام او شهرت دارد. در سال 1948 رساله ای در این باره منتشر کرد که محتوی تئوری این ضریب همبستگی می باشد.در آمار، ضریب همبستگی رتبه‌ای کندال که به تای کندال مشهور است و با حرف یونانی τ نمایش داده‌ می‌شود یک آماره ی ناپارامتری است که برای سنجش همبستگی آماری میان دو متغیر تصادفی به کار می‌رود.

خواص ضریب همبستگی کندال

• از آنجایی که مخرج این کسر تعداد انتخاب‌های زوج‌ها از بین n مشاهده است، همیشه از صورت بزرگتر است. پس ضریب همبستگی کندال از 1 کوچکتر و از 1- بزرگتر است.
• اگر همه زوج‌ها با هم هماهنگ باشند مقدار ضریب همبستگی کندال برابر است با 1.
• اگر همه زوج‌ها ناهماهنگ باشند ضریب همبستگی کندال برابر است با 1-.
• اگر X و Y‌ مستقل باشند، انتظار داریم که ضریب همبستگی کندال نیز برابر با ۰ باشد.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی کندال

[math]T=/[/math] در فرمول فوق n حجم نمونه مورد بررسی می باشد.

مقدار S از مجموع اختلاف u_i (تعداد داده هایی که بعد از داده ی مورد نظر قرار گرفته و بیشتر از آن است) و v_i (تعداد داده هایی که بعد از داده ی مورد نظر قرار گرفته و کمتر از آن است) بدست می آید :

[math]S=sum_^\n d_=sum_^\n (u_-v_)[/math]

حل مثال دستی ضریب همبستگی Kendall

در جدول زیر نمرات امتحان x و y ده دانش آموز ثبت شده است با استفاده از ضریب همبستگی کندال رابطه بین دو امتحان را محاسبه کنید :

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	دانش آموز
5	1	6	4	10	7	2	9	3	8	نمره امتحان x
6	2	4	3	7	8	1	5	10	9	نمره امتحان y

برای بدست آوردن ضریب همبستگی کندال ابتدا نمرات امتحان x را از کوچک به بزرگ مرتب به صورت زیر مرتب می کنیم و نمرات امتحان y را متقابلا در جدول یادداشت می نماییم :

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	دانش آموز
10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	نمره امتحان x
7	10	9	8	4	6	3	5	1	2	نمره امتحان y
0	1	1	1	0	1	0	2	0	1	vi
0	0	1	2	4	4	6	4	8	8	ui
0	1-	0	1	4	4	6	2	8	7	di

محاسبه زوج های هماهنگ و ناهماهنگ

طریقه محاسبه v_i بدین صورت است : نمره امتحان y دانش آموز اول را بررسی کرده (برابر 2 است) و به تعدادی که در نمرات سمت راستش کوچکتر از 2 مشاهده کردیم مقدار u_i مشخص می شود (در امتحان y فقط نمره دانش آموز دوم از دانش آموز اول کمتر است) پس مقدار 1 اختیار می کند. برای دانش آموز دوم نیز که نمره امتحان y آن برابر 1 است مشاهده می شود که هیچکدام از دانش آموزان بعدی نمره کمتری از او نگرفته اند، لذا مقدار v_i برای دانش آموز دوم برابر صفر می باشد.

طریقه محاسبه u_i بدین صورت است : نمره امتحان y دانش آموز اول را بررسی کرده (برابر 2 است) و به تعدادی که در نمرات سمت راستش بزرگتر از 2 مشاهده کردیم مقدار v_i مشخص می شود (در امتحان y فقط نمره دانش آموز دوم از دانش آموز اول کمتر است) پس مقدار 8 اختیار می کند (اگر بشماریم نمره y دانش آموز اول از 8 دانش آموز بعدی کمتر است). برای دانش آموز دوم نیز که نمره امتحان y آن برابر 1 است مشاهده می شود که هیچکدام از دانش آموزان بعدی نمره کمتری از او نگرفته اند، لذا مقدار v_i برای دانش آموز دوم نیز برابر 8 می باشد (فقط نمرات دانش آموزان سمت راست باقی مانده را در شمارش به حساب می آوریم). در انتها مقدار S به صورت زیر بدست می آید :

حل مثال همبستگی کندال در SPSS

ابتدا به شکل زیر داده ها را وارد نرم افزار SPSS می کنیم : برای دریافت آموزش نحوه ورود داده ها در نرم افزار SPSS اینجا کلیک کنید.

سپس از طریق دستور زیر کادر آزمون ضریب همبستگی میان دو متغیر را باز می کنیم :

مانند شکل زیر در پنجره باز شده دو متغیر مورد نظر را وارد کادر Variables کنید و تیک ضریب همبستگی تاو-کندال را فعال نمایید، در انتها بر روی گزینه OK کلیک نمایید :

خروجی نرم افزار SPSS برای ضریب همبستگی کندال (KENDALL CORRELATION COEFFICIENTS) به صورت زیر است :

همانطور که مشاهده می شود مقدار ضریب همبستگی برابر با 0.689 بدست آمده است که سطح معنی داری آن با توجه به این که کمتر از 0.05 است نشان از معنی داری این ضریب می باشد.

Tag: آموزش صحیح بدست آوردن ضریب همبستگی در spss

15 ا کتبر 2017 … آموزش کامل تحلیل همبستگی پیرسون و همبستگی اسپیرمن در SPSS به … بین نمره تحصیلی یک فرد را با میزان اعتیاد اینترنتی او به دست آورد.

آموزش آزمون ساده همبستگی پیرسون در spss (بصورت تصویری) – سریع …

28 ژانويه 2018 … مثال آزمون همبستگی- SPSS Correlation Test Example … اسکرین شات بالا روش استانداردی برای بدست آوردن همبستگی رانشان میدهند، چون ما اینهارا …

6 – محاسبه ضریب همبستگی پیرسون (Pearson) در نرم افزار اس پی اس …

19 نوامبر 2017 … بهمن مؤذن در این فیلم آموزشی با مفهوم ضریب همبستگی و ضریب تعیین در داده های پارامتریک و نحوه محاسبه ضریب همبستگی پیرسون آشنا خواهید شد.

محاسبه همبستگی ساده پیرسون-مدرس حسام بذرافکن – آپارات

27 ا کتبر 2016 … حسام در این درس به تشریح نحوه بررسی همبستگی های ساده از مله همبستگی پیرسون پرداخته می شود آموزش کاملا ساده و کاربردی است. جهت مشاهده سایر …

6 – محاسبه ضریب همبستگی پیرسون (Pearson) در نرم افزار اس پی …

18 نوامبر 2017 – 5 دقیقه – بارگذاری توسطBAHMAN Moazzenدر این فیلم آموزشی با مفهوم ضریب همبستگی و ضریب تعیین در داده های … پیرسون ( Pearson) در نرم افزار اس پی اس اس – آموزش نرم افزار SPSS.

آزمون همبستگی پیرسون در SPSS – مرکز خدمات آماری خوارزمی

اجرای آزمون همبستگی پیرسون در SPSS ، احتمالا، گسترده ترین کاربرد شاخص آماری … (فرض می کنیم رابطه به دست آمده معنی دار باشد و سطح معنی داری به دست آمده …

محاسبه ضریب همبستگی در spss – انجام پروژه های آماری

محاسبه ضریب همبستگی پیرسون-تاوکندال و اسپیرمن در نرم افزار Spss به صورت فیلم آموزشی در آمار برتر.

آموزش نرم افزار SPSS – محاسبه ضریب همبستگی پیرسون (Pearson) در …

آموزش نرم افزار SPSS – محاسبه ضریب همبستگی پیرسون (Pearson) در نرم افزار اس پی اس اس. Published on January 14, 2017. Like Liked Unlikeآموزش نرم افزار …

محاسبه ضريب همبستگي کرامر در جداول توافقي اطمينان‌شرق

محاسبه در جداول توافقي به همراه مثال و خروجي نرم افزار SPSS … ضریب همبستگی کرامر را برای بررسی وجود یا عدم وجود رابطه بین این دو متغیر بدست می آوریم.

ضریب همبستگی پیرسون و ضريب همبستگي اسپيرمن – اطمینان شرق

15 جولای 2018 … سنوات خدمت و میزان درآمد تعدادی کارمند در دست است ، به کمک نرم افزار spss ضریب همبستگی پیرسون را محاسبه می کنیم.

آموزش تجزیه و تحلیل آماری پایان نامه – آموزش همبستگی پارامتری …

ضریب همبستگی پیرسون برای محاسبه درجه و میزان ارتباط خطی بین دو متغیر با سطح … برای درک بهتر مطلب به مثال زیر در نرم افزار SPSS حل شده است توجه نمایید.

آموزش تجزیه و تحلیل آماری پایان نامه – آموزش همبستگی ناپارامتری …

ضریب همبستگی اسپیرمن که معادل ناپارامتری ضریب همبستگی پیرسون است … برای درک بهتر مطلب و بدست آوردن ضریب همبستگی اسپیرمن در SPSS به مثال زیر …

آموزش آزمون همبستگی در spss (ضریب همبستگی های پیرسون، اسپیرمن …

14 مه 2017 … ضریب همبستگی، در تعیین همبستگی دو متغیر به کار می رود. … هوش یا همبستگی میان مقطع تحصیلی با نمره استعداد تحصیلی را بدست بیاورید.

آموزش تفسیر و محاسبه فرمول ضریب همبستگی پیرسون در spss

آموزش تفسیر و محاسبه فرمول ضریب همبستگی پیرسون در spss مقاله ای است که با ذکر یک مقدمه در این قسمت ارائه شده است. مقدمه: اگر متغیرها از هم مستقل نباشند …

محاسبه ضریب همبستگی – آی‌آر‌آمار، مشاورپژوهشگران

فیلم رایگان آموزشی نمودار پراکنش SPSS ضریب همبستگی خطی پیرسون … و بر روی داده ی car-sales.sav به آموزش نحوه محاسبه و تحلیل همبستگی می پردازیم.

آموزش همبستگی و رگرسیون خطی در SPSS – SlideShare

27 آوريل 2016 … درک رابطه بین متغیرها، برای ایجاد مدل های آماری بسیار ضروری است. به کمک شاخص های مربوطه قادر به کشف میزان رابطه بین متغیرها هستیم. ولی برای …

ضریب همبستگی پیرسون – انجام پروژه SPSS

به دست آمده برای ضریب همبستگی صفر باشد این بدان معناست که دو متغیر مورد … به دست آوردن اطلاعات کامل تر درباره همبستگی، وقتی امکان پذیر است که شاخص …

ﺐ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ اﻧﻮاع ﺿﺮﻳ و ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ آﻧﻬﺎ

1 http:// DaneshAmari .blogfa.ir. اﻧﻮاع ﺿﺮﻳ. ﺐ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ. و. ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ آﻧﻬﺎ. ﮔﺮوه داﻧﺶ آﻣﺎري. – ….. ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﺿﺮﻳﺐ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﻓﻲ. ﻣﻌﺮوف اﺳﺖ . ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺿﺮﻳﺐ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﻛﺮاﻣﺮ در ﻧﺮم. اﻓﺰار spss. ﺑﺼ.

آﻣﻮزش ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﯽ و ﭘﯿﺸﺮﻓﺘﻪ ﻧﺮم اﻓﺰار SPSS ﺑﺎ روﯾﮑﺮد اﺳﺘﻔﺎده

ﺑﺪﺳﺖ. آوردن. ﺗﺄﺛﯿﺮ. ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎي. ﻣﺴﺘﻘﻞ. ﺑﺮ. ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎي. واﺑﺴﺘﻪ. •. ﻧﻤﻮﻧﻪ. آﻣﺎري. : ﺑﺨﺸﯽ. از. ﯾﮏ. ﺟﺎﻣﻌﻪ. آﻣﺎري …. آزﻣﻮن ﺿﺮﯾﺐ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﯽ ﭘﯿﺮﺳﻮن. ﮐﻤﯽ. اﻧﺪازه. ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﯽ ﺑ. ﯿﻦ دو. ﻣﺘﻐﯿﺮ. آزﻣﻮن ﺿﺮﯾﺐ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﯽ اﺳﭙﺮﻣﻦ.

انجام spss انجام ليزرل فصل 4پايان نامه – آموزش ضریب همبستگی …

از اینرو در این پست چگونگی بدست آوردن ضریب همبستگی پیرسون در اس پی اس اس را آموزش می دهم. آموزش انجام ضریب همبستگی پیرسون در spss با مثال عملی + pdf.

ضریب همبستگی پیرسون تحلیل آماری داده

7 ژانويه 2017 … مسیر بدست آوردن ضریب همبستگی پیرسون در spss به چه صورت می باشد؟ bivariate ….. correlate ……analyze. مراحل انجام دستور: ۱)انتخاب متغیرها …

سنجش و اندازه گیری – انواع ضريب همبستگي و محاسبه آنها

2 فوریه 2014 … سنجش و اندازه گیری – انواع ضريب همبستگي و محاسبه آنها – مبانی، روش ها و … بصورت زير عمل كنيد: spss براي محاسبه ضريب همبستگي كرامر در …

ضریب-همبستگی – سایت تخصصی آمار فربد – مطالب

مسیر بدست اوردن ضریب همبستگی پیرسن در spss به چه صورته؟ analyze>correlate >bivariate. مراحل انجام دستور. 1)انتخاب متغیرها و انتقال به کادر variable.

محاسبه ضریب همبستگی در اکسل – فروشگاه کشاورزی بازارچه سبز

8 سپتامبر 2018 … محاسبه ضریب همبستگی در اکسل. برای بررسی ارتباط بین متغیرها از آزمون های مختلف مانند همبستگی پیرسون و اسپیرمن استفاده می شود که برای …

سید محمد طباطبایی بافقی – ضریب همبستگی پیرسون و ضریب …

منبع اصلي: کتاب آموزش کاربردي SPSS … تفسير نتايج ضريب همبستگي برونداد SPSS … اين مقادير يک قانون ثابت نيستند و به صورت تجربي بدست آمده است.

مشاوره-کارآفرینی-روانشناسی

ن : میثم

همبستگی

محاسبه همبستگی یکی از اساسی ترین روش های آماری است.هدف آن اندازه گیری و بررسی نوع رابطه و میزان شباهت و تناسب میان صفات مختلف اشیاء و پدیده هایی است که مورد بررسی واقع می شوند. شاید بتوان گفت :هیچ یک از روش های محاسبه آماری از نظر تحقیق علمی به تنهایی به اندازه تحلیل همبستگی اهمیت ندارد.زیرا از هدف های اصلی علم کشف و روابط و پیوستگی های بین پدیده هاست (نصفت، 1369 ، 138).

در بسیاری از مواقع می خواهیم بدانیم دو دسته از نمرات مربوط به یک گروه واحد تا چه اندازه با هم ارتباط دارند و با تغییر یکی دیگری به چه ترتیب تغییر می کند . مطالعه ی این گونه رابطه های بین متغیرها را در اصطلاح آماری همبستگی می نامند (شریفی و نجفی زند به نقل از کرمی ،1378،162).

به عبارت دیگر اگر مقادیر دو متغیر مانند یکدیگر تغییر کند ,رابطه ی مستقیم و همبستگی مثبتی بین آنها وجود دارد.یعنی با افزایش داده های یک متغیر داده های موازی آنها در متغیر دیگر نیز افزایش پیدا می کند و بر عکس با کاهش داده های یک متغیر داده های موازی آنها در متغیر دیگر نیز کاهش پیدا می کند .در این صورت می گویند بین دو متغیر همبستگی مثبت وجود دارد .گاهی رابطه بین دو متغیر به گونه ای است که کاهش یکی با افزایش دیگری همراه است و یا بر عکس (شریفی و نجفی زند به نقل از کرمی ،1378، 163).

اندازه ی همبستگی بین متغیر ها ضریب همبستگی نامیده می شود که معمولا از 1+ تا 1- در تغییرات است ضریب همبستگی صفر نشانگر آن است که بین دو متغیر هیچ نوع همبستگی وجود ندارد ( شریفی و نجفی زند به نقل از کرمی ،1378 ، 163). ضریب همبستگی تعیین کننده ی شدت و جهت همبستگی بین دو متغیر است .جهت همبستگی توسط علامت ضریب همبستگی (منفی یا مثبت ) و شدت همبستگی به وسیله ی قدر مطلق ضریب همبستگی مشخص می شود .باید توجه داشت که شدت همبستگی ,مستقل از علامت ضریب همبستگی است (دلاور، 1388، 175).

همانطور که ارزش واقعی میانگین و اطمینانی که می توانیم به آن داشته باشیم ,به هنجار بودن توزیع مربوط است ضریب همبستگی نیز زمانی مفهوم کامل در بر خواهد داشت که با خطای احتمالی همراه باشد .هر اندازه توزیع نمرات به منحنی هنجار نزدیکتر باشد خطای احتمال به همان اندازه کمتر خواهد بود .بنابر این ,عملا ثبات ضریب همبستگی زمانی افزایش خواهد یافت که تعداد موارد بیشتر باشد .(گنجی ،1386، 91).

البته تنها چیزی که هرگز اتفاق نمی افتد این است که نمرات دو آزمون عینا مثل هم باشند .در واقع ,وقتی در مقابل دو سری نمره قرار می گیریم ,قضاوت درباره ی درجه شباهت آنها کار آسانی نیست .به علاوه بررسی ساده دو سری به صورت یک بر آورد کیفی خواهد بود ,اما لازم است که درجه ی شباهت آنها به صورت کمی بیان شود .این کار با محاسبه ی ضریب همبستگی امکان پذیر است .در میان روش های مختلفی که همبستگی بین دو آزمون را نشان می دهند ,روش پیرسون رواج بیشتری دارد .(گنجی،1386، 89).

تفسیر ضریب همبستگی :

گرچه ضریب همبستگی به صورت اعشاری بیان می شود ,ولی تفسیر آن نباید بر حسب درصد باشد .هم چنین نمی توان ضریب همبستگی را به صورت نسبت مورد مقایسه قرار داد .مساله ی دیگری که باید به آن توجه کرد این است که همبستگی بین چند متغیر ضرورتا نشان دهنده ی رابطه ی علت و معلولی بین متغیر ها نیست .(دلاور،1388، 190).

تفسیر ضریب همبستگی بیشتر به هدف مورد اندازه گیری بستگی دارد و بر همین اساس ممکن است ضریب معینی در مورد یک رابطه پایین باشد و همان ضریب برای یک رابطه ی دیگر متوسط . بنابراین آموزش ضریب همبستگی پیرسون تفسیر ضریب همبستگی امری نسبی است و بستگی به مطلب مورد مطالعه و متغیر های وابسته با آن دارد.(امینی به نقل از کرمی،1353، 171).

ضریب همبستگی,درصد وجه مشترک بین دو متغیر را نشان نمی دهد .و فقط نشانگر اندازه ی همبستگی بین دو متغیر است .بنابراین نمی توان ضریب همبستگی را به صورت درصد بیان کرد.برای تعیین وجه اشتراک دو متغیر باید شاخص دیگری به نام ضریب تعیین محاسبه کرد .

فرمول محاسبه: v=r 2 xy * 100

با محاسبه ی این ضریب می توان گفت که چند درصد از کل واریانس یک متغیر ناشی از واریانس متغیر دیگر است .اگر ضریب همبستگی بین متغیر های x ,y صفر باشد ضریب تعیین ,مساوی صفر است .معنای این ضریب این است که هیچ یک از متغیر ها پراکندگی متغیر دیگر را تبیین نمی کند .چنانچه ضریب همبستگی بین دو متغیر x,y برابر یک یاشد ضریب تعیین برابر 100 است. در تعلیم وتربیت ضریب تعیین به عنوان یک شاخص تعمیمی و تکوینی بین مهارت ها استفاده می شود.(دلاور،1388، 191).

روش های نشان دادن همبستگی :

1:نمودار های پراکندگی:

یکی از روش هایی که به وسیله ی آنها می توان همبستگی بین دو متغیر را نشان داد ,نمودار پراکندگی است .این نمودار ,نمایش ترسیمی است که از طریق آن ارزش های دو متغیر نشان داده می شود .در برخی از مواقع رابطه بین متغیر ها خطی نیست ,بلکه شبیه منحنی است که به آن همبستگی غیر خطی می گویند .اما هنگامی که همبستگی بین دو متغیر کامل باشد ,آن را به وسیله ی یک خط مستقیم که به آن همبستگی خطی گفته می شود توصیف می کنند .(دلاور،1388، 171).

2:جدول توزیع فراوانی دو بعدی:

روش دیگر نمایش همبستگی به صورت بصری ,تهیه و تدوین جدول توزیع فراوانی دو بعدی است .در این جدول ارزش های متغیر های x,y به ترتیب در مسیر های افقی و عمودی نشان داده می شوند و خط نشان ها تکرار اعداد را به صورت ترکیبی مشخص می کنند .جدول توزیع فراوانی دو بعدی را می توان برای داده های طبقه بندی شده و طبقه بندی نشده به کار برد .همبستگی بین دو متغیر نباید به این صورت تفسیر شود که یک متغیر تنها علت متغیر دیگر است .(دلاور،1388، 175).

عواملی که بر ضریب همبستگی تاثیر می گذارد :

هنگام تفسیر ضریب همبستگی لازم است ماهیت جامعه ای را که دو متغیر در آن مورد مشاهده یا اندازه گیری شده اند ,بررسی کرد.ضریب همبستگس از جامعه ای به جامعه دیگر فرق فرق می کند زیرا:

1:اساس رابطه ,از جامعه به جامعه ی دیگر فرق می کند .به عنوان مثال در سنین 10تا 16 سالگی بین سن تقویمی و توانایی فیزیولوژیکی همبستگی بالایی است اما در سنین 20 تا 26 سالگی همبستگی وجود ندارد .

2:همبستگی بین دو متغیر در جامعه ای که درآن متغیر های مورد بررسی نا همگن است ,بیشتر از همبستگی همان متغیر ها در جامعه ای است که بر حسب آنها متغیر ها همگن است .به عنوان مثال در یک جامعه بین قد و موفقیت در بازی بسکتبال همبستگی وجود دارداما در تیم بسکتبال یک کشور چنین رابطه ای وجود ندارد زیرا اعضای تیم بسکتبال همه قد بلند هستند.

3:ممکن است همبستگی بین دو متغیر به دلیل همبستگی آنها با متغیر دیگری باشد .مثال , همبستگی بین فیزیک در ریاضی ممکن است به دلیل همبستگی این متغیر ها با هوش باشد.(دلاور،1388، 189).

حالات و درجات همبستگی :

1:همبستگی مثبت:اگر تغییرات دو متغیر به طور کلی یا در بیشتر موارد مناسب و در جهت هم باشد ,همبستگی آنها مستقیم خواهد بود .به بیان دیگر اگر در مجموع روابطی که بین آن دو متغیر وجود دارد احتمال یا فراوانی موارد متناسب بیشتر از موارد نا متناسب باشد همبستگی مستقیم و شاخص آماری آن مقداری مثبت خواهد بود .مانند ,رابطه ی بین هوش پیشرفت تحصیلی

2:همبستگی منفی یا معکوس :گاهی رابطه ی بین دو متغیر به گاونه ای است که کاهش یکی با افزایش دیگری همراه است یا بر عکس ,مثلا اگر رابطه ی نمره های x,y چنان صورتی پیدا کند که همبستگی موارد مخالف بیشتر از موارد موافق باشد ,مقدار همبستگی از حالت ناهمبستگی به حالت همبستگی معکوس در می آید و شاخص آماری آن مقدار منفی می گردد. مثال بین وزن بدن و سرعت دویدن همبستگی منفی وجود دارد .

3:همبستگی صفر:نشانگر آن است که بین دو متغیر هیچ نوع همبستگی وجود ندارد .به نسبت افزایش مواردی که تغییرات آنها در جهت مخالف هم است همبستگی مثبت نیز کاهش می یابد تا جایی که موارد موافق و مخالف همدیگر را کاملا خنثی می کنند .این حالت را همبستگی صفر یا نا همبستگی می گویند. (نصفت ،1369، 139).

محاسبه ی ضریب همبستگی :

ضریب همبستگی برای اولین بار توسط فرانسیس گالتون به شکل نمودار پدید آمد و سپس کارل پیرسون طرز محاسبه ی آن را پیدا کرد .

پر کاربرد ترین روش های محاسبه ی ضریب همبستگی :

1:ضریب همبستگی گشتاوری پیرسون :

برای استفاده از ضریب همبستگی پیرسون باید دو شرط زیر وجود داشته باشد .

الف)مقیاس اندازه گیری اطلاعات به دست آمده از متغیر ها از نوع نسبی یا فاصله ای باشد .

ب)بتوانیم چنین فرض کنیم که توزیع متغیر ها حالت نرمال دارد .(لطف آبادی به نقل از کرمی ،1374،164).

ضریب همبستگی پیرسون را می توانیم از راه انحراف از میانگین و با استفاده از نمرات خام و نمرات استاندارد وبا استفاده از جدول دو بعدی بدست آورد .

مفروضه های ضریب همبستگی پیرسون :

1:رابطه ی بین دو متغیر خطی باشد .

2:توزیع ها دارای شکل مشابه باشند .

3:نمودار پراکندگی یکسان باشد.

رابطه ی خطی به رابطه ای گفته می شود که نمودار پراکندگی آن به صورت خط باشد .ضریب همیستگی پیرسون فقط برای توصیف همبستگی خطی مناسب آموزش ضریب همبستگی پیرسون است.مشاهده ی نمودار پراکندگی ,ساده ترین روشی است که می توان از طریق آن خطی یا غیر خطی بودن رابطه ی بین متغیر ها را تعیین کرد .چنانچه در نمودار نقاط تعیین شده ,در حول و حوش یک خط قرار گرفته باشند ,مفروضه ی خطی بودن رابطه بین دو متغیر رعایت شده و می توان برای محاسبه ضریب همبستگی از روش پیرسون استفاده کرد .در غیر این صورت برای رابطه غیر خطی ,محاسبه ضریب همبستگی پیرسون صحیح نیست .

2:دومین مفروضه مشابه بودن اشکال توزیع های x,y است .چنانچه بین اشکال متغیر های مورد پژوهش تفاوت زیادی باشد,به عنوان مثال شکل متغیر x کجی به راست و شکل متغیر y کجی به چپ داشته باشد ,ضریب همبستگی پیرسون قادر به بر آورد رابطه ی بین متغیر های x,y نیست.

3:سومین مفروضه به عرض نقاط پراکندگی ارتباط دارد .با این معنی که باید عرض نقاط در سراسر نمودار یکسان باشد .این مفروضه را یکسانی نقاط پراکندگی (واریانس )می گویند .(دلاور،1388، 188).

2:ضریب همبستگی رتبه ای اسپیرمن :

ضریب همبستگی رتبه ای اسپیرمن به عنوان ساده ترین نوع تحلیل همبستگی شناخته شده است .اگر داده های دو متغیر به صورت مقیاس رتبه ای باشند ,نمی توان از فرمول پیرسون استفاده کرد .به عنوان مثال دانش آموزی که در هوشبهر بالا ترین رتبه را دارد در پیشرفت ریاضی نیز بالاترین نمره را دارد و بالعکس .(شریفی و طالقانی ،1371، 317).

در واقع یکی از قدیمی ترین و متداول ترین روش های همبستگی برای داده های رتبه ای ,توسط چارلز اسپیرمن (1904),روان شناس و آمار دان مشهور انگلیسی معرفی شده است .ضریب همبستگی رتبه ای اسپیر من که آن را با r s نمایش می دهیم کاملا مبتنی بر مقیاس ترتیبی است و از نظر پارامتر های جامعه نیز مستلزم هیچ مفروضه ای نیست (و بنابر این نمونه ای از یک مشخصه غیر پارامتری است.)بدین ترتیب کاربرد این ضریب همبستگی فقط موقعی باید مورد توجه قرار بگیرد که داده های مشاهده شده دارای مقیاس ترتیبی باشد .البته موقعیت هایی وجود دارد که در آنها با آنکه داده های اصلی در متغیر پیوسته بدست آمده است ,دارا ی مفروضه های اساسی برای تفسیر درست r نیست و بنابر این قبل از تحلیل ,تبدیل به رتبه می شود .اما باید توجه داشت که تغییر داده های متغیر پیوسته (فاصله ای) به شکل رتبه صرفا به خاطر آسان بودن محاسبات همبستگی رتبه ای ,مستلزم از دست دادن اطلاعات قابل ملاحظه ای است و تا حد ممکن باید از آن پرهیز شود .همبستگی رتبه ای اسپیر من در حقیقت همان همبستگی گشتاوری بین دو متغیر x و y اما در شرایطی است که هر دومتغیر به صورت رتبه بیان می شود.و توزیع آنها شامل اعداد صحیح متوالی از 1 تا n است .(هومن ،1383، 291).

فرمول ضریب همبستگی پیرسون از راه انحراف از میانگین :

فرمول آموزش ضریب همبستگی پیرسون ضریب پیرسون با استفاده از نمرات خام:

فرمول پیرسون با استفاده از نمرات استاندارد :

فرمول پیرسون با استفاده از جدول دو بعدی:

فرمول محاسبه ی اسپیرمن:

3:ضریب همبستگی دو رشته ای نقطه ای:

از این ضریب زمانی استفاده می شود که یکی از متغیر ها پیوسته و دیگری دو ارزشی باشد .این ضریب همبستگی پیش فرضی ندارد.مثال:رابطه بین هوش و شهری و روستایی بودن(گنجی ،1385، 80).

4:ضریب همبستگی دو رشته ای:

از این ضریب زمانی استفاده می شود که یکی از دو متغیر ها پیوسته و دیگری دو ارزشی غیر حقیقی یا ساختگی باشد.شرط دیگر استفاده از این روش بهنجار بودن توزیع نمره های هر دو متغیر است .(هم پیوسته و هم دو ارزشی).منظور از دو ارزشی ساختگی یا غیر حقیقی این است که اعداد اصلی پیوسته هستند یا دو ارزشی نیستند اما موقع محاسبه آنها را به دو ارزشی تبدیل می کنیم.مانند هوش و پیشرفت تحصیلی (اگر رد و قبئلی داشته باشد).هوش یک متغیر پیوسته و پیشرفت تحصیلی دارای دو ارزش رد و قبول است.(گنجی ،1385، 83).

عده ای از پژوهشگران این همبستگی را بهترین شاخص همبستگی سوال می دانند.لازم به ذکر است که مقدار این همبستگی گاهی از 1+ بزرگتر و گاهی از 1- کوچکتر است .(سیف به نقل از کرمی ،1379،168).

آشنایی و معرفی ضریب همبستگی پیرسون

در آمار، ضریب همبستگی پیرسون یا ضریب همبستگی حاصل‌ضرب-گشتاور پیرسون میزان همبستگی خطی بین دو متغیر تصادفی را می‌سنجد. مقدار این ضریب بین ۱- تا ۱ تغییر می‌کند که «۱» به معنای همبستگی مثبت کامل، «۰» به معنی نبود همبستگی، و «۱-» به معنی همبستگی منفی کامل است. این ضریب که کاربرد فراوانی در آمار دارد، توسط کارل پیرسون براساس ایدهٔ اولیهٔ فرانسیس گالتون تدوین شد.

تعریف:
ضریب همبستگی پیرسون بین دو متغیر تصادفی برابر با کوواریانس آنها تقسیم بر انحراف معیار آنها تعریف می‌شود.

جامعهٔ آماری
برای یک جامعهٔ آماری، ضریب همبستگی جامعه به صورت زیر تعریف می‌شود:

که در آن \mathrm کوواریانس، \sigma_X انحراف معیار متغیر X ، \mu_X میانگین متغیر X و E امید ریاضی را نشان می‌دهد.

نمونه آماری
ضریب همبستگی پیرسون برای یک نمونه آماری با n زوج داده (X_i, Y_i) به صورت زیر تعریف می‌شود: